Нужно доказательство тождества Якоби

P = [[a b] c]+[[b c] a]+[[c a] b]
a=? ai ei, b = ? bj ej, c = ?ck ek
P = ? ai bj ck ([[ei ej] ek] + [[ej ek] ei] + [[ek ei] ej])
Докажем, что для любых значений индексов i,j,k вектор в скобках равен нуль-вектору
Случай 1: среди номеров базисных векторов есть одинаковые (не снижая общности ei=ej)
[[ei ej] ek] + [[ej ek] ei] + [[ek ei] ej] = 0 + [[ei ek] ei] + [[ek ei] ei] = [[ei ek] ei] - [[ei ek] ei] = 0
Случай 2: все номер базисных векторов разные ei?ej, ei?ek, ej?k
Тогда вектор ek перпендикулярен векторам ei, ej и выполняется одно из двух равенств ek=[ei ej], ek=-[ei ej]
ek=±[ei ej]
[ej ek]=±[ej [ei ej]]=?[ej [ej ei]]=±ei
[ek ei]=±[[ei ej] ei]=?[ei [ei ej]]=±ej
[[ei ej] ek] + [[ej ek] ei] + [[ek ei] ej] = 0 + 0 + 0 = 0
Итак, для любых значений индексов i,j,k:
[[ei ej] ek] + [[ej ek] ei] + [[ek ei] ej] = 0, следовательно
P = ? ai bj ck ([[ei ej] ek] + [[ej ek] ei] + [[ek ei] ej]) = 0, то есть
[[a b] c]+[[b c] a]+[[c a] b] = 0